Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/9

tour les différentielles partielles de toutes, par rapport aux paramètres indépendans $a$ et $b$ et à leurs fonctions $c,d,e,\ldots$ on se trouvera avoir $3n-3$ équations, entre lesquelles on n’aura à éliminer que $3n-4$ quantités, savoir, les $n$ paramètres et les $2n-4$ rapports ${\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} a}},{\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} b}},{\frac {\operatorname {d} d}{\operatorname {d} a}},{\frac {\operatorname {d} d}{\operatorname {d} b}},{\frac {\operatorname {d} e}{\operatorname {d} a}},{\frac {\operatorname {d} e}{\operatorname {d} b}},\ldots$

Que par exemple l’équation proposée soit

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b,c,a',b',c')=V=0,$

ces six paramètres étant liés par les quatre relations

$\operatorname {f} (a,b,c)=S=0,\qquad \operatorname {f} '(a',b',c')=S'=0,$

$\varphi (a,b,c,a',b',c')=P=0,\qquad \psi (a,b,c,a',b',c')=Q=0\,;$

en considérant $a,b,c,c'$ comme des fonctions des deux paramètres indépendans $a',b'$ il faudra éliminer ces six paramètres et les huit rapports

${\begin{array}{llll}{\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} a'}},&{\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} a'}},&{\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} a'}},&{\frac {\operatorname {d} c'}{\operatorname {d} a'}},\\\\{\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} b'}},&{\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} b'}},&{\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} b'}},&{\frac {\operatorname {d} c'}{\operatorname {d} b'}},\end{array}}$

entre les quinze équations

$V=0,\qquad S=0,\qquad S'=0,\qquad P=0,\qquad Q=0,$

$\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} a}}\right){\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} a'}}+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} b}}\right){\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} a'}}+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} c}}\right){\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} a'}}+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} a'}}\right)+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} c'}}\right){\frac {\operatorname {d} c'}{\operatorname {d} a'}}=0,$

$\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} b}}\right){\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} b'}}\,+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} b}}\right){\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} b'}}\,+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} c}}\right){\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} b'}}\,+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} b'}}\right)+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} c'}}\right){\frac {\operatorname {d} c'}{\operatorname {d} b'}}=0,$