ce qui donne, en intégrant
Si l’on veut compter les arcs du point rayonnant, pour lequel on a et la constante sera nulle, et l’on aura simplement
ou, en se rappelant les résultats ci-dessus,
Ainsi, notre caustique est rectifiable, et l’arc, compris depuis le point rayonnant jusqu’à un autre point quelconque, est constamment égal à la somme des longueurs des rayons incident et réfléchi qui répondent à ce dernier point.
Lorsque , on a ; d’où résulte ; et telle est la longueur de la demi-caustique ; mais la corde de cette demi-caustique est ; donc la longueur de la demi-caustique est précisément double de sa corde ; ou, en d’autres termes, la longueur de la caustique entière est quadruple de celle de la droite qui joint son point de rebroussement à son point de contact avec le cercle réfléchissant.
Appliquons encore les considérations précédentes à la recherche de la développée de la caustique.
Soit un quelconque des points de cette développée ; l’équation de la normale à la caustique sera