![{\displaystyle s=\int \operatorname {d} x{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}=\int {\frac {2(r-2x')}{3r}}{\sqrt {\frac {2r^{3}}{(r+x')(r-2x')^{2}}}}\operatorname {d} x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68698d43b954b05c9a075b3711978df14435a671)
![{\displaystyle ={\frac {2}{3}}\int \operatorname {d} x'{\sqrt {\frac {2r}{r+x'}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac4a8533fa93fcce3646a6476911d9f28c719c5)
ce qui donne, en intégrant
![{\displaystyle s={\frac {4}{3}}{\sqrt {2r(r+x')}}+A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9a558fd18010de6c5ba11054a05538b4a823ad)
Si l’on veut compter les arcs du point rayonnant, pour lequel on a
et
la constante sera nulle, et l’on aura simplement
![{\displaystyle s={\frac {4}{3}}{\sqrt {2r(r+x')}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6deb607d59a3b6d709bf44189bfb4ac5c2e66f04)
ou, en se rappelant les résultats ci-dessus,
![{\displaystyle s={\frac {4}{3}}P=P+{\frac {1}{3}}P=P+P'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799fe1f9735699ed2a27db0e32eb75735e1f11d1)
Ainsi, notre caustique est rectifiable, et l’arc, compris depuis le point rayonnant jusqu’à un autre point quelconque, est constamment égal à la somme des longueurs des rayons incident et réfléchi qui répondent à ce dernier point.
Lorsque
, on a
; d’où résulte
; et telle est la longueur de la demi-caustique ; mais la corde de cette demi-caustique est
; donc la longueur de la demi-caustique est précisément double de sa corde ; ou, en d’autres termes, la longueur de la caustique entière est quadruple de celle de la droite qui joint son point de rebroussement à son point de contact avec le cercle réfléchissant.
Appliquons encore les considérations précédentes à la recherche de la développée de la caustique.
Soit
un quelconque des points de cette développée ; l’équation de la normale à la caustique sera
![{\displaystyle (X-x)+(Y-y){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9faf601889cee1b349270ece0bb733f78ec523de)