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composée en $X,Y$ et $-R$ comme celle-là l’était en $x,y$ et $+r$ ; ce qui conduit à ce résultat remarquable :

Lorsque le point rayonnant est à la circonférence d’un cercle réfléchissant, la développée de la caustique est une autre caustique semblable à la première, relative à un cercle réfléchissant concentrique au premier, mais d’un rayon trois fois moindre, et dont la circonférence passe conséquemment par le point de rebroussement de cette première caustique. La seconde caustique est d’ailleurs tournée en sens inverse de la première, de sorte que le point lumineux qui lui répond se confond avec le point de rebroussement ou foyer de celle-là.

Il suit encore de là que, lorsque le point rayonnant est à la circonférence d’un cercle réfléchissant, la caustique est la développée d’une autre caustique semblable, tournée en sens inverse et relative à un cercle réfléchissant concentrique au premier, mais d’un rayon trois fois plus grand.

On aura donc l’équation de l’une des développantes de la caustique dont il s’agit en changeant simplement, dans l’équation (7) $x,y$ et $+r$ en ${\frac {1}{3}}x,{\frac {1}{3}}y$ et $-r,$ ce qui donnera l’équation fort simple

\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}=4r^{2}\left\{y^{2}+(x+r)^{2}\right\}\qquad

^[1].

↑ Ce résultat peut être confirme par un autre dëjà obtenu. On a vu, en effet, à la page 78 du précédent volume, que l’équation de l’une des développantes de la caustique par réfraction relative à un cercle qui a son centre à l’origine, et pour des rayons émanés de l’un quelconque $(a,b)$ des points de son plan, est
$\left\{\lambda '^{2}\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-\lambda ^{2}\left(a^{2}+b^{2}+r^{2}\right)\right\}^{2}=4r^{2}\left\{\left(\lambda '^{2}x-\lambda ^{2}a\right)^{2}+\left(\lambda '^{2}y-\lambda ^{2}b\right)^{2}\right\}.$

Pour passer de là au cas de la réflexion, il suffira, comme l’on sait, de poser $\lambda '=-\lambda ,$ ce qui donnera

$\left\{\left(x^{2}+y^{2}\right)-\left(a^{2}+b^{2}\right)\right\}^{2}=4r^{2}\left\{\left(x^{2}+y^{2}\right)-2(ax+by)+\left(a^{2}+b^{2}\right)\right\}.$

[p14-1] Ce résultat peut être confirme par un autre dëjà obtenu. On a vu, en effet, à la page 78 du précédent volume, que l’équation de l’une des développantes de la caustique par réfraction relative à un cercle qui a son centre à l’origine, et pour des rayons émanés de l’un quelconque $(a,b)$ des points de son plan, est
$\left\{\lambda '^{2}\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-\lambda ^{2}\left(a^{2}+b^{2}+r^{2}\right)\right\}^{2}=4r^{2}\left\{\left(\lambda '^{2}x-\lambda ^{2}a\right)^{2}+\left(\lambda '^{2}y-\lambda ^{2}b\right)^{2}\right\}.$

Pour passer de là au cas de la réflexion, il suffira, comme l’on sait, de poser $\lambda '=-\lambda ,$ ce qui donnera

$\left\{\left(x^{2}+y^{2}\right)-\left(a^{2}+b^{2}\right)\right\}^{2}=4r^{2}\left\{\left(x^{2}+y^{2}\right)-2(ax+by)+\left(a^{2}+b^{2}\right)\right\}.$

[1]