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nées et les indéterminées $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ toutes comprises entre zéro et l’infini positif. Le problème n’est alors possible qu’autant que ces équations peuvent être toutes satisfaites ; et il a toute l’étendue que ces mêmes équations peuvent comporter.

QUESTIONS RÉSOLUES.

Démonstration du théorème de combinaison
énoncé à la page 32 du précédent volume ;

Par M. Ferriot, Doyen de la l’aculté des sciences de
Grenoble.

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À la page 40 du XV.^e volume du présent recueil, on a demandé de combien de manières $m$ couleurs, toutes différentes les unes des autres, pouvaient être appliquées sur les $m$ faces d’un polyèdre régulier ; $m$ représentant, tour à tour, les nombres $4,6,8,12,20.$ À la page 32 du volume suivant, on a annoncé que ce nombre était

${\frac {1.2.3.4\ldots (m-2)(m-1)}{2n}},\qquad$(1)

$n$ exprimant le nombre des côtés de chacune des faces du polyèdre ; et c’est cette formule que nous nous proposons ici de vérifier.

Remarquons bien d’abord qu’il n’est pas question de résoudre le problème pour le cas où, les faces du polyèdre étant numérotées, on regarderait comme solutions différentes celles même qui ne différeraient uniquement entre elles que par les numéros des faces où les mêmes couleurs se trouveraient appliquées. À nos yeux donc deux polyèdres égaux seront réputés colorés de la même manière,