et il est aisé de voir que réciproquement, si cette proportion a lieu, les points
seront en ligne droite avec le point ![{\displaystyle \mathrm {C.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade6e97f12a04da851a9578bc7e3eaf4de0b9386)
III. On voit que, lorsque sur les directions
des côtés d’un triangle
on prend trois points
tels que
![{\displaystyle \mathrm {AB'\times BC'\times CA'=BA'\times CB'\times AC'} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76e09370190a07fb30b89648c5fc5f841f9b9521)
ou bien ces trois points sont en ligne droite, ou bien les trois droites
concourent en un même point ; et cela, suivant que ceux de ces points qui sont sur les côtés même du triangle sont en nombre pair ou en nombre impair.
Mais, lorsque quatre points
pris, les deux premiers sur la direction du côté
et les deux autres sur la direction du côté
d’un triangle
sont tels qu’on a la proportion
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {CA'}{CA''}}:{\frac {CB'}{CB''}}::{\frac {BA'}{BA''}}:{\frac {AB'}{AB''}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a168dd9af2a52c37aa220321373b4b4a51865d77)
il arrive à la fois que le point de concours de
et
est sur la direction du côté
; et que les points d’intersection de
et
et
sont en ligne droite avec le sommet
; ce qui donne cet élégant théorème :
Si trois droites issues d’un même point
coupent les côtés d’un angle dont le sommet est
savoir l’un en
et l’autre en
; et si
sont les intersections respectives de
et
et
et
; ces trois points
appartiendront à une même droite contenant le sommet
de l’angle ; et réciproquement, si ces trois points appartiennent à une même droite contenant le point
les droites
concourront toutes trois en un même point
[1].
- ↑ De là, par la théorie des polaires réciproques, on conclura cet autre théorème :