Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/173

$\left(t^{2}+u^{2}\right)\left(\operatorname {d} t^{2}+\operatorname {d} u^{2}\right)=C(t\operatorname {d} t+u\operatorname {d} u+)^{2}\,;\qquad$(10)

telle est donc l’équation de la projection sur le plan des $xy$ de la courbe tracée sur le cône.

Cette projection étant une spirale, nous poserons

$t=r\operatorname {Cos} .\theta ,\qquad u=r\operatorname {Sin} .\theta ,\qquad$(11)

d’où

$\operatorname {d} t=\operatorname {d} r\operatorname {Cos} .\theta -r\operatorname {d} \theta \operatorname {Sin} .\theta ,\qquad \operatorname {d} u=\operatorname {d} r\operatorname {Sin} .\theta +r\operatorname {d} \theta \operatorname {Cos} .\theta \,;$

il en résultera

${\begin{aligned}t^{2}+u^{2}&=r^{2},\\\\\operatorname {d} t^{2}+\operatorname {d} u^{2}&=\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} \theta ^{2},\\\\t\operatorname {d} t+u\operatorname {d} u&=r\operatorname {d} r\,;\end{aligned}}$

substituant dans (10) divisant par $r^{2}$, tranformant de nouveau la constante et extrayant la racine quarrée, il viendra

$D\operatorname {d} \theta ={\frac {\operatorname {d} r}{r}},\quad$d’où$\quad D\theta =\operatorname {Log} .{\frac {r}{a}}\,;\qquad (12)$

$a$ étant une nouvelle constante. Ainsi la projection sur le plan des $xy$ de la courbe tracée sur le cône est une spirale logarithmique.

Les formules (2) et (7) donnent en différentiant

$v{\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} v^{2}}}=-{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} v}},\qquad v{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} v^{2}}}=-{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} v}},$