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les équations (13) et (14) donnent d’ailleurs

${\begin{aligned}(y\operatorname {d} x-x\operatorname {d} y)&=+y(x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y),\\\\(y\operatorname {d} x-x\operatorname {d} y)&=-x(x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y)\,;\end{aligned}}$

d’où, en prenant la somme des quarrés et ayant égard à l’équation (1),

$(y\operatorname {d} x-x\operatorname {d} y)^{2}v^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha =\left(x^{2}+y^{2}\right)(x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y),$

ou en mettant pour $x^{2}+y^{2}$ sa valeur (15), divisant par $v$ et extrayant la racine quarrée des deux membres

$(y\operatorname {d} x-x\operatorname {d} y)\operatorname {Tang} .\alpha =E(x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y)\,;$

équation d’une spirale logarithmique, comme on pouvait bien s’y attendre ; et dont la développée sera l’autre spirale logarithmique prpjection de la courbe tracée sur la surface du cône.

Voilà donc un moyen mécanique fort simple pour tracer une spirale logarithmique d’un mouvement continu, et qui présente en même temps une définition purement géométrique de cette courbe.