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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\begin{array}{lc}A\,\ x^{2}+B\,\ y^{2}+2C\,\ xy+2D\,\ x+2E\,\ y+F\,\ =0,&(\mathrm {c} )\\\\A'\,x^{2}+B'\,y^{2}+2C'\,xy+2D'\,x+2E'\,y+F'\,=0,&(\mathrm {c'} )\\\\A''x^{2}+B''y^{2}+2C''xy+2D''x+2E''y+F''=0,&(\mathrm {c''} )\end{array}}$

on devrait avoir les six relations

$\left.{\begin{array}{lll}mA+A'=A'',&mB+B'=B'',&mC+C'=C'',\\\\mD+D'=D'',&mE+E'=E'',&mF+F'=F''\,;\end{array}}\right\}$(a)

dans lesquelles le nombre $m$ peut être quelconque.

Cela posé, par un point $\mathrm {O}$ > pris à volonté sur le plan des trois courbes, et dont nous supposons les coordonnées $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ soit menée une droite parallèle à l’axe des $x$, c’est-à-dire, parallèle à une droite fixe arbitraire, puisque les axes des coordonnées sont quelconques. Ensuite, sans changer la direction des axes, transportons-en l’origine en $\mathrm {O}$ ; il nous suffira pour cela de changer respectivement $x$ et $y$ en $x+X$ et $y+Y,$ dans les équations $(c),(c'),(c''),$ qui deviendront ainsi

${\begin{aligned}&A\ \,x^{2}+B\ \,y^{2}+2C\ \,xy+2(A\ \,X+C\ \,Y+D\ \,)x+2(B\ \,Y+C\ \,X+E\ \,)y\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\left(A\ \,X^{2}+B\ \,Y^{2}+2C\ \,XY+2D\ \,X+2E\ \,Y+F\ \,\right)=0,\\\\&A'\,x^{2}+B'\,y^{2}+2C'\,xy+2(A'\,X+C'\,Y+D'\,)x+2(B'\,Y+C'\,X+E'\,)y\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\left(A'\,X^{2}+B'\,Y^{2}+2C'\,XY+2D'\,X+2E'\,Y+F'\,\right)=0,\\\\&A''x^{2}+B''y^{2}+2C''xy+2(A''X+C''Y+D'')x+2(B''Y+C''X+E'')y\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\left(A''X^{2}+B''Y^{2}+2C''XY+2D''X+2E''Y+F''\right)=0,\\\\\end{aligned}}$

Si l’on fait, dans la première $y=0,$ on en tirera les valeurs des distances du point $\mathrm {O}$ aux deux intersections de la courbe $(c)$ avec la transversale menée par ce point $\mathrm {O.}$ Ces distances pourront être réelles ou imaginaires, suivant que la transversale coupera ou ne coupera pas la courbe $(c)$ ; mais, dans tous les cas, leur produit, aussi bien que leur somme algébrique, auront toujours des valeurs réelles. En effet, en désignant ce produit par $\mathrm {P}$ et cette somme