Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/211

formules connues, les exprimer rationnellement par les coefficiens des équations (1) et (2). Il en est donc de même de la fonction $\operatorname {f} (y)$

La fonction rationnelle $\theta (y)$ étant arbitraire, on peut en disposer pour simplifier l’expression de $\operatorname {f} (y).$ Pour cela, soit

$\operatorname {f} (y)={\frac {\operatorname {F} (y)}{\chi (y)}},$

où $\operatorname {F} (y)$ et $\chi (y)$ sont deux fonctions entières ; on aura, en substituant,

${\frac {\operatorname {F} (y)}{\chi (y)}}={\frac {\Sigma {\frac {\operatorname {F} (y)\theta (y)R}{\chi (y)}}}{\Sigma \theta (y)R}}\,;$

Si donc on suppose $\theta (y)=\chi (y),$ on aura

${\frac {\operatorname {F} (y)}{\chi (y)}}={\frac {\Sigma \operatorname {F} (y)R}{\Sigma \chi (y)R}}\,;\qquad$(9)

et alors le numérateur et le dénominateur de cette fonction seront des fonctions entières des coefficiens des équations proposées.

Si $\chi (y)=1,$ on aura, pour une fonction entière quelconque $\operatorname {F} (y),$

$\operatorname {F} (y)={\frac {\Sigma \operatorname {F} (y)R}{\Sigma R}}\,;\qquad$(10)

ou bien

$\operatorname {F} (y)={\frac {\operatorname {F} (y)R+\operatorname {F} (y_{1})R_{1}+\operatorname {F} (y_{2})R_{2}+\ldots \operatorname {F} (y_{n-1})R_{n-1}}{R+R_{1}+R_{2}+\ldots R_{n-1}}}.$

Mais on peut encore simplifier beaucoup l’expression de $\operatorname {F} (y)$ de la manière suivante :

Désignons par $\psi '(y)$ la dérivée de $\psi (y),$ Par rapport à $y$, et faisons