Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/213

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$R=\rho _{0}+\rho _{1}y+\rho _{2}y^{2}+\rho _{3}y^{3}+\ldots +\rho _{\mu }y^{\mu }\,;\qquad$(12)

où il est évident que $\rho _{0},\rho _{1},\rho _{2},\ldots ,\rho _{\mu }$ seront des fonctions entières des coefficiens des équations (1) et (2).

La fonction $R$ sera d’un degré supérieur à $n-1$ ; mais, il est clair qu’on peut, en vertu de l’équation (2), en éliminer toutes les puissances de $y$ supérieures à la $(n-1)$^ième, et de cette manière mettre $R$ sous la forme

$R=\rho _{0}+\rho _{1}y+\rho _{2}y^{2}+\rho _{3}y^{3}+\ldots +\rho _{n-1}y^{n-1},$

où $\rho _{0},\rho _{1},\rho _{2},\ldots ,\rho _{n-1}$ sont toujours des fonctions entières de $p_{0},p_{1},p_{2},$$\ldots p_{m-1},q_{0},q_{1},q_{2},\ldots q_{n-1}.$

En multipliant $R$ par la fonction entière $\operatorname {F} (y)$ on aura la fonction $\operatorname {F} (y)R,$ qui est de même une fonction entière de $y$. On peut donc la mettre sous la même forme que $R,$ c’est-à-dire, qu’on peut poser

$\operatorname {F} (y).R=t_{0}+t_{1}y+t_{2}y^{2}+t_{3}y^{3}+\ldots +t_{n-1}y^{n-1}\,;\qquad$(13)

$t_{0},t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n-1}$ étant encore des fonctions entières de $p_{0},p_{1},p_{2},\ldots$$p_{m-1},q_{0},q_{1},q_{2},\ldots q_{n-1}.$

Dès que $R$ sera déterminé par l’équation (12), il est clair qu’on aura

${\begin{aligned}&R_{1}=\rho _{0}+\rho _{1}y_{1}+\rho _{2}y_{1}^{2}+\rho _{3}y_{1}^{3}+\ldots +\rho _{n-1}y_{1}^{n-1},\\\\&R_{2}=\rho _{0}+\rho _{1}y_{2}+\rho _{2}y_{2}^{2}+\rho _{3}y_{2}^{3}+\ldots +\rho _{n-1}y_{2}^{n-1},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&R_{n-1}=\rho _{0}+\rho _{1}y_{n-1}+\rho _{2}y_{n-1}^{2}+\rho _{3}y_{n-1}^{3}+\ldots +\rho _{n-1}y_{n-1}^{n-1}.\end{aligned}}$

On aura de même