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être distribués les $m^{2}$ ou $(p+q)^{2}$ points d’intersection des deux proposées ; savoir, $p(p+q)$ sur la première et $q(p+q)$ sur l’autre.

Réciproquement, si la nature et la situation respective des deux proposées sont telles que, parmi leurs $(p+q)^{2}$ points d’intersection, il s’en trouve $p(p+q)$ qui appartiennent à une seule et même ligne du p^ième ordre ; ces points seront de nature à être obtenus par la combinaison de l’une quelconque des équations (1) et (2) avec une équation rationnelle du p^ième degré ; puis donc que tous les points d’intersection s’obtiennent par la combinaison de la même équation avec l’équation (3), il faudra que, par une détermination convenable de la constante arbitraire $\lambda ,$ le premier membre de cette dernière acquiert un facteur rationnel $P$ du p^ième degré : ce premier membre devra donc, pour cette même valeur, avoir un autre facteur rationnel $Q$ du q^ième degré ; cette équation sera donc alors de la forme de l’équation (4) ; d’où il suit que les $q(p+q)$ points d’intersection restants se trouveront tous appartenir à une seule et même ligne du q^ième ordre. On a donc ce théorème général :

THÉORÈME I. Si, parmi les (p+q)2 points d’intersection de deux lignes du (p+q)ième ordre, situées dans un même plan, il s’en trouve p(p+q) appartenant tous à une seule et même ligne du pième ordre ; les q(p+q) points d’intersection restans appartiendront tous à une seule et même ligne du qième ordre[1].

THÉORÈME I. Si, parmi les (p+q)2 tangentes communes à deux lignes du (p+q)ième ordre, situées dans un même plan, il s’en trouve p(p+q) touchant toutes une seule et même ligne du pième ordre ; les q(p+q) tangentes communes restantes toucheront toutes une seule et même ligne du qième ordre.

1. Si l’on suppose que la ligne du p^ième ordre se réduit au système de droites, dont chacune contient $p+q$ intersection, on obtiendra le premier des théorèmes dont la démonstration a été demandée à la page 35 du présent volume ; et qui n’est, comme l’on voit, qu’un cas très-particulier de celui-ci.