d’après ce qui précède (théorème I), les points d’intersection restans de ces courbes, deux à deux, au nombre de
pour chaque système de deux courbes, seront sur trois lignes du qième ordre dont nous supposons les équations
![{\displaystyle Q=0,\quad (4)\qquad Q'=0,\quad (5)\qquad Q''=2\,;\quad (6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c96e58f87aee82f746a5ac72efffc0d88641b8)
chacune de ces dernières se rapportant aux deux qui ne lui correspondent pas dans la première série. On devra donc avoir par une détermination convenable de
et
![{\displaystyle \lambda M+M''=PQ',\qquad \lambda 'M'+M''=PQ\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988986d934a3299040f378923bc58a9ee2a2fd22)
d’où
![{\displaystyle \lambda M-\lambda 'M'=P(Q'-Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ff6760e9342b32cceb01445a45481a4da4ff69)
ou bien
![{\displaystyle -{\frac {\lambda }{\lambda '}}M+M'=P{\frac {Q-Q'}{\lambda '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8466ae6d42ee0816d701b31c3e1a8ba1dc584c24)
mais, d’après ce qui a été démontré (§. I), pour une détermination convenable de
, on doit avoir
![{\displaystyle \mu M+M''=PQ'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a852b6cc36b6c09abd35d164bed67f802b1ab05b)
puis donc qu’en prenant
, on a
![{\displaystyle \mu M+M''=P{\frac {Q-Q'}{\lambda '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9e2b90469522f60a14e023a0a5a79bd68fe38a)
il s’en suit qu’on doit avoir
![{\displaystyle {\frac {Q-Q'}{\lambda '}}=Q'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c9e57d9fd859f2aad0eaa7aa7ee545385f6c26)
c’est à-dire
![{\displaystyle \lambda 'Q''+Q'=Q\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a9df124f1c4db3387263a1bc70181bfb7e2f2f)
ce qui prouve que chacune des équations (4), (5), (6) est comportée par les deux autres, et que conséquemment les trois courbes qu’elles expriment se coupent exactement aux mêmes
points. On a donc ce théorème général :