ques, situées à ses sommets[1] ; d’où il résulte finalement que le centre de gravité du volume d’un tétraèdre est au milieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées quelconques.
De toutes les manières de signaler la situation de ce point, cette dernière est certes bien la plus simple et la plus symétrique ; et, pour cette raison, on peut désirer d’y parvenir directement, et sans la faire dépendre d’une suite d’autres. C’est une chose extrêmement facile, comme on va le voir.
Soit (fig. 4) le tétraèdre dont il s’agit, et soit la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées quelconques et Concevons le tétraèdre décomposé en élémens plans, parallèles à la fois à ces deux arêtes ; ces élémens ayant deux côtés opposés parallèles à et les deux autres côtés opposés parallèles à seront tous des parallélogrammes. Soit l’un d’eux, ayant ses deux côtés et parallèles à et ses deux côtés et parallèles à ; et soit le point où cet élément est percé par
Le plan conduit par et par le point coupera les côtés opposés et en leurs milieux et ; et le point sera le milieu de c’est-à-dire, le milieu de la droite qui joint les milieux de deux côtés opposés du parallélogramme et conséquemment son centre de figure. Ce sera donc aussi le centre de gravité de l’élément. Tous les élémens du tétraèdre ont donc leur centre de gravité sur ; cette droite contient donc aussi le centre commun de gravité de tous ces élémens et conséquemment le centre de gravité du volume du tétraèdre.
Ainsi, il demeure déjà établi, par ce qui précède, que le centre de gravité du volume d’un tétraèdre est sur l’une quelconque des trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposés ; et on
- ↑ Cette dernière proposition est due à Roberval.
