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$\operatorname {f} _{2}(x,y,z,\ldots g,h,k,\ldots ),$

. . . . . . . . . . . . . . .

$\operatorname {f} _{n-1}(x,y,z,\ldots g,h,k,\ldots ),$

en calculant les différentielles successives de $u$, et en y remplaçant les différentielles $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z,\ldots$ des variables indépendantes par les accroissemens finis $g,h,k,\ldots$ des mêmes variables.

On sait, qu’on peut considérer, en généra!, la différentielle d’une fonction, non comme une quantité infiniment petite, mais comme la portion de l’accroissement de cette fonction dont les différens termes croissent proportionnellement aux accroissemens des variables indépendantes, et dont le rapport à l’accroissement total de la fonction ne diffère de l’unité que d’une quantité qui devient plus petite que toute grandeur donnée quand les accroissemens le deviennent eux-mêmes.

D’après cette définition, il est évident que la distinction à faire entre les différentielles et les accroissemens entiers n’a lieu qu’à l’égard des fonctions, et que, pour les variables indépendantes, ce sont ces accroissemens entiers qui satisfont aux conditions prescrites dans la définition et qui doivent être considérées comme les différentielles des variables indépendantes ; en sorte qu’alors $g=\operatorname {d} x,h=\operatorname {d} y,k=\operatorname {d} z,\ldots$ ; d’où il suit que

${\begin{aligned}\operatorname {f} _{1}(x,y,z,\ldots g,h,k,\ldots )&=\operatorname {d} \ u,\\\operatorname {f} _{2}(x,y,z,\ldots g,h,k,\ldots )&=\operatorname {d} ^{2}u,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\\operatorname {f} _{n-1}(x,y,z,\ldots g,h,k,\ldots )&=\operatorname {d} ^{n-1}u\,;\end{aligned}}$

au moyen de quoi la précédente formule peut être écrite ainsi :