![{\displaystyle {\begin{aligned}&=\left\{n{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{n}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n}}}(1-\alpha )-nC\right\}(1-\alpha )^{n-1}\\\\&=\left({\frac {\operatorname {d} ^{n}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{n}}}-C\right)(1-\alpha )^{n-1}=\left\{\operatorname {f} _{n}(x,y,z,\ldots g,h,k,\ldots )-C\right\}(1-\alpha )^{n-1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568c87663c3bc737dcc76fa9c422205753f383ec)
Si donc on prend alternativement pour
la plus grande et la plus petite valeur que prend
![{\displaystyle \operatorname {f} _{n}(x',y',z',\ldots g,h,k,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2623925af788b878b10096f7b1b7e04564892c5)
calculée immédiatement par
différentiations,
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\mathrm {depuis\ } &x'=x,&y'=y,&z'=z,\ldots \\\mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \ &x'=x+g,&y'=y+h,&z'=z+k,\ldots \,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bda2232b0ec7197f63ae6ae3b203b4aa5790f7a)
c’est-à-dire, depuis
jusqu’à
, et qu’on désigne ces deux valeurs par
et
sera constamment négatif, dans cet intervalle, quand on prendra
et toujours positif, dans le même intervalle, quand on fera
; on aura donc, en vertu du théorème que nous venons de citer,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}-{\frac {M}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72050c345f6153780f3131c47dbc3dcf047401d9)
négatif et
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}-{\frac {m}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6777d1c76809197616abc4abaaf25d0671055bc)
positif ;
d’où il suit que
est compris entre la plus grande et la plus petite valeur que peut prendre
dans le même intervalle, et que l’erreur que l’on commet en négligeant
![{\displaystyle {\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}(0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff32cec7b89f2b62668a9a54e0dea4bc7355909)