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GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

Applications de la théorie des centres de
moyennes distances ;

Par M. C. C. Gérono.

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On sait que le principe fondamental de la théorie des centres de moyennes distances consiste en ce que des points $\mathrm {P} _{1},\mathrm {P} _{2},\mathrm {P} _{3},\ldots \mathrm {P} _{n}$ étant donnés dans l’espace au nombre de $n$, et des grandeurs homogènes en même nombre $m_{1},m_{2},m_{3},\ldots m_{n}$ répondant respectivement à chacun d’eux ; il existe toujours dans l’espace un point et un seul point $\mathrm {P,}$ tel que le produit de sa distance à quelque plan que ce puisse être par la somme $m_{1}+m_{2}+m_{3}+\ldots +m_{n}$ est égal à la somme des produits respectifs par $m_{1},m_{2},m_{3},\ldots m_{n}$ des distances des points $\mathrm {P} _{1},\mathrm {P} _{2},\mathrm {P} _{3},\ldots \mathrm {P} _{n}$ au même plan.

On sait encore que, si $\Pi$ est un point pris arbitrairement, dans l’espace, on aura

$m_{1}{\overline {\Pi \mathrm {P_{1}} }}^{2}+m_{2}{\overline {\Pi \mathrm {P_{2}} }}^{2}+m_{3}{\overline {\Pi \mathrm {P_{3}} }}^{2}+\ldots +m_{n}{\overline {\Pi \mathrm {P} _{n}}}^{2}$

$=\left(m_{1}+m_{2}+m_{3}+\ldots +m_{n}\right).{\overline {\Pi \mathrm {P} }}^{2}+m_{1}{\overline {\mathrm {PP_{1}} }}^{2}+m_{2}{\overline {\mathrm {PP_{2}} }}^{2}+m_{3}{\overline {\mathrm {PP_{3}} }}^{2}$

$+\ldots +m_{n}{\overline {\mathrm {PP} _{n}}}^{2}.$

M. Lhuilier, de Genève, qui s’est spécialement occupé de cette théorie, en a fait des applications très-curieuses ; mais il n’a pas considéré celles de ces applications auxquelles peut donner naissance l’indétermination des multiplicateurs $m_{1},m_{2},m_{3},\ldots m_{n}$ ; indétermination qui permet de déplacer à volonté dans l’espace, le