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$(A,B,a,b),\quad (B,C,b,c)\quad (C,D,c,d)\quad (D,A,d,a)\quad \,;$

le centre du système $(\mathrm {A,B,C,D} ,a,b,c,d)$ devra donc se trouver à la fois sur les deux droites $\mathrm {EG,FH}$ ; d’où il suit que ces droites se couperont en quelque point $\mathrm {K}$ et seront ainsi dans un même plan.

La proposition 16 du V.^e livre des Élémens de M. Legendre n’est, comme l’on voit, qu’un cas très-particulier de ce théorème.

On sait que, lorsque les quatre côtés $\mathrm {AB,BC,CD,DA}$ d’un quadrilatère gauche touchent en $\mathrm {E,F,G,H,}$ une même surface du second ordre, on a la relation

$\mathrm {AE.BF.CG.DH=AH.DG.CF.BE} \,;$

donc aussi alors les quatre points de contact $\mathrm {E,F,G,H,}$ sont situés dans un même plan.

IV. Lorsque quatre points $\mathrm {A,B,C,D,}$ sont dans un même plan, il est toujours possible de déterminer les quantités $a,b,c,$ de telle sorte que le dernier $\mathrm {D}$ soit le centre des moyennes distances du système $(\mathrm {A,B,C} ,a,b,c)$ des trois autres ; on a alors, en vertu de l’équation fondamentale,

${\begin{aligned}&{\overline {\mathrm {AB} }}^{2}.b+{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}.c={\overline {\mathrm {AD} }}^{2}(a+b+c)+{\overline {\mathrm {DA} }}^{2}.a+{\overline {\mathrm {DB} }}^{2}.b+{\overline {\mathrm {DC} }}^{2}.c,\\\\&{\overline {\mathrm {BC} }}^{2}.c+{\overline {\mathrm {BA} }}^{2}.a={\overline {\mathrm {BD} }}^{2}(a+b+c)+{\overline {\mathrm {DA} }}^{2}.a+{\overline {\mathrm {DB} }}^{2}.b+{\overline {\mathrm {DC} }}^{2}.c,\\\\&{\overline {\mathrm {CA} }}^{2}.a+{\overline {\mathrm {CB} }}^{2}.b={\overline {\mathrm {CD} }}^{2}(a+b+c)+{\overline {\mathrm {DA} }}^{2}.a+{\overline {\mathrm {DB} }}^{2}.b+{\overline {\mathrm {DC} }}^{2}.c.\end{aligned}}$

En éliminant, entre ces trois équations ; deux quelconques des trois