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leur résultante sera représentée en intensité par $n.\mathrm {P} \Delta$ et dirigée suivant $\mathrm {P} \Delta$^[1].

Les axes des couples seront des droites respectivement perpendiculaires à leurs plans, c’est-à-dire, aux plans des triangles $\mathrm {PA_{1}B_{1},PA_{2}B_{2},PA_{3}B_{3}} ,$$\ldots \mathrm {PA_{n}B_{n}} ,$ et proportionnels à leurs momens ou énergies ; ces axes seront donc représentés, en grandeur et en direction, par $\mathrm {PG_{1},PG_{2},PG_{3},\ldots PG_{n}} \,;$ car ces droites, d’après l’énoncé, sont respectivement perpendiculaires aux plans des triangles $\mathrm {PA_{1}B_{1},PA_{2}B_{2},PA_{3}B_{3},\ldots PA_{n}B_{n}} ,$ qui sont les mêmes que ceux des couples et proportionnelles aux aires de ces triangles, lesquelles aires sont respectivement moitiés des rectangles qui expriment l’énergie des couples.

Or, il est connu, par la théorie que M. Poinsot a développée dans sa Statique, que la composition des couples dont les bras de leviers ont une extrémité commune s’opère en composant leurs axes comme si c’était autant de forces. Or, ces axes étant ici $\mathrm {PG_{1},PG_{2},PG_{3},\ldots PG_{n}} ,$ et $\Gamma$ étant supposés le centre des moyennes distancesdes points $\mathrm {G_{1},G_{2},G_{3},\ldots G_{n}} ,$ il s’ensuit que l’axe du couple résultant sera dirigé suivant $\mathrm {P} \Gamma$ et représenté en longueur par $n.\mathrm {P} \Gamma .$

Ainsi, tout le système dont il s’agit peut être réduit à une force dirigée suivant $\mathrm {P} \Delta$ et représentée en intensité par $n.\mathrm {P} \Delta$ et à un couple dont l’axe, dirigé suivant $\mathrm {P} \Gamma ,$ aura pour longueur $n.\mathrm {P} \Gamma .$

Cela posé, veut-on 1.^o que le système soit en équilibre ? Il sera nécessaire et il suffira pour cela que la résultante $n.\mathrm {P} \Delta$ et le couple $n.\mathrm {P} \Gamma$ soient séparément nuls ; ce qui donnera, comme l’annonce le théorème,

$\mathrm {P} \Delta =0,\qquad \mathrm {P} \Gamma =0.$

2.^o Lorsque ces deux conditions ne seront point remplies l’une

1. Annales, tom. XVI, pag. 30.