soient
les angles de ces droites avec les axes des
des
et des
; soient encore ![{\displaystyle (x',y',z'),(x'',y'',z''),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2eb7a8948a00748361132564a7f46bbdf15ae4d)
les points
. Soient enfin
les coordonnées du point
;
celles du point
les angles que forme
avec les axes des coordonnées ; et
les angles que forme
avec les mêmes axes.
Nous aurons d’abord
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{rlrl}P\Delta &={\sqrt {D^{2}+E^{2}+F^{2}}},&P\Gamma &={\sqrt {G^{2}+H^{2}+K^{2}}},\\\\\operatorname {Cos} .d&={\frac {D}{\sqrt {D^{2}+E^{2}+F^{2}}}},&\operatorname {Cos} .g&={\frac {G}{\sqrt {G^{2}+H^{2}+K^{2}}}},\\\\\operatorname {Cos} .e&={\frac {E}{\sqrt {D^{2}+E^{2}+F^{2}}}},&\operatorname {Cos} .h&={\frac {H}{\sqrt {G^{2}+H^{2}+K^{2}}}},\\\\\operatorname {Cos} .f&={\frac {F}{\sqrt {D^{2}+E^{2}+F^{2}}}},&\operatorname {Cos} .k&={\frac {K}{\sqrt {G^{2}+H^{2}+K^{2}}}}.\end{array}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/973f4759c11128e2cbab5d134f4cbcee5fc6220c)
(1)
Les coordonnées des points
ne seront autre chose que les projections sur les trois axes des droites
et seront conséquemment exprimées par
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}P'\operatorname {Cos} .\alpha ',&P'\operatorname {Cos} .\beta ',&P'\operatorname {Cos} .\gamma ',\\\\P''\operatorname {Cos} .\alpha '',&P''\operatorname {Cos} .\beta '',&P''\operatorname {Cos} .\gamma '',\\\\P'''\operatorname {Cos} .\alpha ''',&P'''\operatorname {Cos} .\beta ''',&P'''\operatorname {Cos} .\gamma ''',\\\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78bfe8fc2c7b79136b1e54f918a882d21058b1d5)
et on aura de plus, par la définition du point ![{\displaystyle \Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2)