Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/360

la seule chose à chercher sera la forme de la fonction $\operatorname {f}$, et on y parviendra en éliminant $x,y,z$ entre les deux équations données et les équations (8) et (9). Il restera une équation en $v$ et $\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )$ de laquelle on tirera la valeur de cette dernière quantité.

Si l’on donne seulement l’équation d’une surface sur laquelle la développante doit être située ; il faudra alors, comme précédemment, trouver la forme de la fonction $\operatorname {f}$ et ensuite la seconde équation de la courbe. C’est ce à quoi on parviendra en éliminant $x,y,z$ entre les équations (7), (8), (9) et celle de la surface donnée. Il restera une équation de laquelle on tirera la valeur de $\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha ).$ Cette valeur étant connue, on la substituera dans l’équation (7) qu’on résoudra alors par rapport à $v$ ; et, en mettant pour $v$ sa valeur ainsi obtenue dans l’équation (8), on aura l’équation de la courbe cherchée.

Faisons l’application de ceci au cas où l’on demande que la développante se trouve sur un plan conduit par le sommet du cône perpendiculairement à son axe. L’équation de cette surface étant $z=0$, l’élimination de $x,y,z$ se réduit à celle de $z$ entre $z=0$ et l’équation (9) ; en sorte que l’équation finale sera

$v-{\frac {\int {\sqrt {1+v^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {f} '^{2}(v\operatorname {Tang} .\alpha )}}.\operatorname {d} v}{\sqrt {1+v^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {f} '^{2}(v\operatorname {Tang} .\alpha )}}}=0.$

Or, en général, quand on a

$v-{\frac {\int \psi (v)\operatorname {d} v}{\psi (v)}}=0,$

on en tire $\psi '(v)=0,$ d’où $\psi (v)=$Const. On aura donc, dans le cas présent

$v\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha )={\frac {1}{D}}\quad$et$\quad \operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )={\frac {1}{D}}\operatorname {Log} .{\frac {v}{a}}\,;$

la projection de la courbe tracée sur le cône aura donc pour équation polaire