Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/382

$\left.{\begin{aligned}&2a\left[1+\lambda \operatorname {Cos} .(A-X)\right]=p,\\&2b\left[1+\lambda \operatorname {Cos} .(B-X)\right]=p,\\&2c\left[1+\lambda \operatorname {Cos} .(C-X)\right]=p,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&2q\left[1+\lambda \operatorname {Cos} .(Q-X)\right]=p,\\&2r\left[1+\lambda \operatorname {Cos} .(R-X)\right]=p,\\&2s\left[1+\lambda \operatorname {Cos} .(S-X)\right]=p.\end{aligned}}\right\}\quad$(15)

Si l’on prend d’abord la somme des produits respectifs de ces équations par $bc\ldots rs\operatorname {Sin} .A',\ cd\ldots sa\operatorname {Sin} .B',\ de\ldots ab\operatorname {Sin} .C',$$,\ldots rs\ldots$$np\operatorname {Sin} .Q',$$sa\ldots pq\operatorname {Sin} .R',\ ab\ldots qr\operatorname {Sin} .S',$ en ayant égard à l’équation (13), il viendra,

$2abc\ldots qrs(\operatorname {Sin} .A'+\operatorname {Sin} .B'+\operatorname {Sin} .C'+\operatorname {Sin} .Q'+\operatorname {Sin} .R'+\operatorname {Sin} .S')$

$=(bc\ldots rs\operatorname {Sin} .A'+cd\ldots sa\operatorname {Sin} .B'+\ldots +sa\ldots pq\operatorname {Sin} .R'+ab\ldots qr\operatorname {Sin} .S')p\,;$

d’où

$p=2.{\frac {\operatorname {Sin} .A'+\operatorname {Sin} .B'+\operatorname {Sin} .C'+\ldots +\operatorname {Sin} .Q'+\operatorname {Sin} .R'+\operatorname {Sin} .S'}{{\frac {\operatorname {Sin} .A'}{a}}+{\frac {\operatorname {Sin} .B'}{b}}+{\frac {\operatorname {Sin} .C'}{b}}+\ldots +{\frac {\operatorname {Sin} .Q'}{q}}+{\frac {\operatorname {Sin} .R'}{r}}+{\frac {\operatorname {Sin} .S'}{s}}}}.\ (16)$

Si l’on prend la somme des produits respectifs des mêmes équations par $a',b',c',\ldots q',r',s',$ en ayant égard aux équations (1) et (2), il viendra, en divisant par $2\lambda ,$

$aa'\operatorname {Cos} .(A-X)+bb'\operatorname {Cos} .(B-X)+\ldots$

$+rr'\operatorname {Cos} .(R-X)+ss'\operatorname {Cos} .(S-X)=0\,;$

ou bien, en développant

$\left.{\begin{aligned}&(aa'\operatorname {Cos} .A+bb'\operatorname {Cos} .B+\ldots +rr'\operatorname {Cos} .R+ss'\operatorname {Cos} .S)\operatorname {Cos} .X\\+&(aa'\operatorname {Sin} .A\,+bb'\operatorname {Sin} .B\,+\ldots +rr'\operatorname {Sin} .R\,+ss'\operatorname {Sin} .S)\operatorname {Sin} .X\end{aligned}}\right\}=0\,;$

d’où