![{\displaystyle s={\frac {b}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {1+\operatorname {Sin} .{\frac {x}{b}}}{1-\operatorname {Sin} .{\frac {x}{b}}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/763f64617f042e54a36d1bd8592e31ad75d3c9e3)
(11)
ce qui donne la longueur d’un arc de la chaînette depuis le point le plus bas jusqu’au point quelconque ![{\displaystyle (x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95dbf335146f98dac7d77b214c2e8f0a5930478)
En multipliant membre à membre les équations (8) et (10), on a
![{\displaystyle z\operatorname {d} s={\frac {a}{b}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {x}{b}}}}=a.{\frac {\operatorname {d} .{\frac {x}{b}}}{\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {x}{b}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aee050d8d5ba6cd13af44fd635ee02499ae43ea)
donc
![{\displaystyle \int z\operatorname {d} s=a\operatorname {Tang} .{\frac {x}{b}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b8439953a17028b9bbc9902fa6e59b8c81e28ce)
(12)
C’est là le poids de l’arc compris depuis le point le plus bas jusqu’au point quelconque
.
En représentant par
le rayon de courbure au point
on aura comme l’on sait
![{\displaystyle r={\frac {\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}}={\frac {\left({\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}\right)^{3}}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5fd7ea2d86ebefdf3826a366fa2a7fb7c38e0a)
mais la formule (5) donne
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}={\frac {1}{b}}\left({\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ccb0e0999f660a836869290abe221acb85dc3a)
donc
![{\displaystyle r=b{\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf3cea7e7048dee23f37e6895619cb552619cd9)
c’est-à-dire (10),
![{\displaystyle r=b\operatorname {Sec} .{\frac {x}{b}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33a06ccb1ee70a59cc286a13de89ac76098afc6)
(13)