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$s={\frac {b}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {1+\operatorname {Sin} .{\frac {x}{b}}}{1-\operatorname {Sin} .{\frac {x}{b}}}}\,;\qquad$(11)

ce qui donne la longueur d’un arc de la chaînette depuis le point le plus bas jusqu’au point quelconque $(x,y).$

En multipliant membre à membre les équations (8) et (10), on a

$z\operatorname {d} s={\frac {a}{b}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {x}{b}}}}=a.{\frac {\operatorname {d} .{\frac {x}{b}}}{\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {x}{b}}}}\,;$

donc

$\int z\operatorname {d} s=a\operatorname {Tang} .{\frac {x}{b}}.\qquad$(12)

C’est là le poids de l’arc compris depuis le point le plus bas jusqu’au point quelconque $(x,y)$.

En représentant par $r$ le rayon de courbure au point $(x,y)$ on aura comme l’on sait

$r={\frac {\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}}={\frac {\left({\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}\right)^{3}}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}}\,;$

mais la formule (5) donne

${\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}={\frac {1}{b}}\left({\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}\,;$

donc

$r=b{\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}\,;$

c’est-à-dire (10),

$r=b\operatorname {Sec} .{\frac {x}{b}}.\qquad$(13)