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Alors la somme désignée par $\Delta$ se composerait, en général, d’une infinité de termes ; et par conséquent l’intégrale (4) se trouverait représentée par la somme d’une série infinie. Mais il arrivera, dans plusieurs cas, ou que la plupart des termes de la série devront être rejetés, parce qu’ils appartiendront à des racines dans lesquelles le coefficient de ${\sqrt {-1}}$ sera négatif, ou que la plupart des termes seront, deux à deux, égaux et de signes contraires, ou enfin que la somme de la série pourra être facilement déterminée, par la méthode que nous avons indiquée dans le paragraphe 13 du Mémoire sur les intégrales prises entre des limites imaginaires. Il en résultera souvent que les équations (3) et (4) fourniront, en termes finis, les valeurs des intégrales qu’elles renferment. C’est ce qui aura lieu, par exemple, si l’on prend

$f(x)=\varphi (x).{\frac {\operatorname {Cos} .ax}{\operatorname {Cos} .bx}}\,;$

$\varphi (x)$ désignant une fonction rationnelle et paire de la variable $x$.

En ayant égard aux diverses remarques que l’on vient de faire, on déduira des équations (3) et (4) une multitude de formules générales, propres à la détermination des intégrales définies. Je me contenterai d’en citer ici quelques-unes.

En désignant par $r$ une quantité positive, et par $m$ un nombre entier, on établira sans difficulté les formules générales

(13)$\qquad \int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)-f(-x)}{2{\sqrt {-1}}}}.{\frac {\operatorname {d} x}{x}}={\frac {\pi }{2}}f(0).$

(14)$\qquad \int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)+f(-x)}{2}}.{\frac {r\operatorname {d} x}{x^{2}+r^{2}}}={\frac {\pi }{2}}f\left(r{\sqrt {-1}}\right).$

(15)$\qquad \int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)-f(-x)}{2{\sqrt {-1}}}}.{\frac {x\operatorname {d} x}{x^{2}+r^{2}}}={\frac {\pi }{2}}f\left(r{\sqrt {-1}}\right).$