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positif ; du moins qui ne produise dans la valeur de $\Delta$ que des termes dont la somme se réduise à zéro ; on tirera de la formule (3)

(28)$\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (x)\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=$

$-2\varpi \left\{{\begin{aligned}&\left(K_{m-1}-H_{m-1}{\sqrt {-1}}\right)\operatorname {f} \left(h+k{\sqrt {-1}}\right)+\ldots \\+&\left(K_{m-2}-H_{m-1}{\sqrt {-1}}\right){\frac {\operatorname {f} '\left(h+k{\sqrt {-1}}\right)}{1}}+\ldots \\\\+&\left(K_{m-3}-H_{m-1}{\sqrt {-1}}\right){\frac {\operatorname {f} ''\left(h+k{\sqrt {-1}}\right)}{1.2}}+\ldots \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\ldots \\+&\left(K_{1}-H_{m-1}{\sqrt {-1}}\right){\frac {\operatorname {f} ^{(m-1)}\left(h+k{\sqrt {-1}}\right)}{1.2.3\ldots (m-1)}}+\ldots \end{aligned}}\right\}\,;$

les expressions $K-H{\sqrt {-1}},\ K_{1}-H_{1}{\sqrt {-1}},\ldots$ devant être réduites à moitié, quand la quantité $k$ devient nulle.

Ainsi, par exemple, $a,b,r,s$ désignant toujours des quantités positives, $\theta$ un arc compris entre les limites $0$ et $\varpi ,\ h+k{\sqrt {-1}}$ une des racines inégales de l’équation ${\frac {1}{\varphi (x)}}=0,$ et enfin $\omega ,\rho$ les quantités que renferment les seconds membres des formules (9), on trouvera

$(29)\int _{-\infty }^{+\infty }\left(-x{\sqrt {-1}}\right)^{a-1}\varphi (x)\operatorname {d} x=-2\varpi \left[\left(K-H{\sqrt {-1}}\right)\left(k-h{\sqrt {-1}}\right)^{a-1}+\ldots \right].$

$(30)\int _{-\infty }^{+\infty }e^{bx{\sqrt {-1}}}\varphi (x)\operatorname {d} x=-2\varpi \left[\left(K-H{\sqrt {-1}}\right)e^{-bx}.(\operatorname {\operatorname {Cos} } .bh+{\sqrt {-1}}\operatorname {\operatorname {Sin} } .bh)+\ldots \right].$

$(31)\int _{-\infty }^{+\infty }\left(1+{\frac {s}{x}}{\sqrt {-1}}\right)\varphi (x)\operatorname {d} x=-2\varpi \left[\left(K-H{\sqrt {-1}}\right)\operatorname {l} \left(1+{\frac {s}{\rho }}e^{\omega {\sqrt {-1}}}\right)+\ldots \right].$