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Prenant, tour à tour, la somme des équations (2) et (4), et celle des équations (3) et (5), en ayant égard à l’équation (1), il viendra

${\begin{aligned}\mathrm {\frac {Q}{T'}} &=3.{\frac {a''}{a'}}\left(1+{\frac {a''}{a'}}\right),\\\\\mathrm {\frac {Q}{T''}} &=3.{\frac {a'}{a''}}\left(1+{\frac {a'}{a''}}\right)\,;\end{aligned}}$

ou, en chassant les dénominateurs, transposant et ordonnant

${\begin{aligned}\mathrm {Q} a'^{2}-3\mathrm {T} 'a'a''-3\mathrm {T} 'a''^{2}&=0,\\\\3\mathrm {T} ''a'^{2}+3\mathrm {T} ''a'a''-\mathrm {Q} a''^{2}&=0.\end{aligned}}$

Prenant successivement la somme des produits de ces équations, d’abord par $\mathrm {3T''}$ et $\mathrm {-Q,}$ puis par $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {-3T',}$ en divisant le premier résultat par $a''$ et le second par $a',$ il viendra

${\begin{aligned}3\mathrm {T''(Q+3T')} a'&=\mathrm {\left(Q^{2}-9T'T''\right)} a'',\\\\\mathrm {3T'(Q+3T'')} a''&=\mathrm {\left(Q^{2}-9T'T''\right)} a'\,;\end{aligned}}$

d’où, en multipliant membre à membre et divisant par $a'a'',$

$\mathrm {\left(Q^{2}-9T'T''\right)^{2}=9T'T''(Q+3T')(Q+3T'')} \,;$

ou bien enfin, en développant, réduisant, transposant et ordonnant

$\mathrm {Q^{3}-27T'T''Q-27T'T''(T'+T'')} =0.$