De ce théorème, par la théorie des polaires réciproques, on pourra déduire le suivant :
THÉORÈME II. Soit une courbe plane de m.ième classe. Soient une suite d’autres lignes, des classes respectives telles que soit enveloppée par toutes les tangentes menées à par ses intersections avec une droite fixe ; et que chacune des autres soit, par rapport à celle qui la précède immédiatement, et pour la même droite ce qu’est par rapport à la dernière de ces courbes se réduira à un point.
Si, aux points d’intersection de la courbe avec les diverses sécantes conduites par le point on lui mène des tangentes, les courbes de (m-1).ième classe, inscrites aux divers systèmes de tangentes répondant à ces différentes sécantes, lesquelles, comme l’on sait[1], seront toutes inscrites aux mêmes droites fixes, auront toutes la droite pour tangente commune. On déduira de ce théorème le moyen de faire toucher à deux droites données et une courbe de (m-1).ième classe, telle qu’en lui menant des tangentes communes avec une courbe donnée de m.ième classe, tous les points de contact de ces tangentes avec cette dernière appartiennent à une droite unique. En déterminant, en effet, les points et correspondant respectivement aux droites et les tangentes menées à la courbe par ses points d’intersection avec la sécante conduite par ces deux points, toucheront une même ligne de (m-1).ième classe qui, suivant le théorème, devra toucher à la fois les deux droites et et sera conséquemment la courbe demandée.
Il se pourrait que les points et se confondissent ; le problème serait alors indéterminé, et l’on pourrait se donner arbitrairement une troisième tangente à la courbe demandée.
- ↑ Voy. la pag. 153 du présent volume.
