Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/196

figure rectiligne, on obtiendra, en faisant usage de ces formules, la relation correspondante entre les distances de ce même centre aux points et aux droites de la figure rectiligne, polaires réciproques de celle dont il s’agit.

Pour faire une application de cette remarque, par le centre $\mathrm {O}$ du cercle directeur, soit menée à un autre cercle $\mathrm {C}$ une sécante arbitraire qui le coupe aux points $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ ; on aura

$\mathrm {OM.ON} =Const.$

Les polaires des points de la circonférence du cercle $\mathrm {C}$ seront, comme l’on sait, tangentes à une même conique ; et, en particulier, celles des points $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ seront deux tangentes parallèles. Si l’on désigne par $\mathrm {M'}$ et $\mathrm {N'}$ les pieds des perpendiculaires abaissées du point $\mathrm {O}$ sur ces tangentes ; on aura, en vertu des formules ci-dessus,

$\mathrm {OM'.ON'} =Const.\,;$

d’où il suit que les points $\mathrm {M'}$ et $\mathrm {N'}$ sont à la circonférence d’un même cercle ; et, attendu que les tangentes parallèles les plus distantes sont les tangentes aux deux extrémités du grand axe de la conique, il s’ensuit que ce grand axe est le diamètre du cercle dont il s’agit. On sent d’ailleurs que, si la polaire réciproque du cercle $\mathrm {C}$ est une parabole, le cercle lieu des points $\mathrm {M'}$ et $\mathrm {N'}$ dégénérera en une tangente au sommet de cette courbe.

On voit donc qu’en général, si l’un des côtés d’un angle droit mobile passe constamment par le point $\mathrm {O,}$ et que l’autre côté de cet angle droit soit constamment tangent à la polaire réciproque du cercle $\mathrm {C,}$ son sommet décrira une circonférence qui aura pour diamètre le grand axe de cette polaire. On reconnaît aisément par là^[1] que le point $\mathrm {O}$ est un foyer de cette polaire.

1. Voy. Annales, tom, V, pag. 51.