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$\lambda '^{2}v^{2}-\lambda ^{2}v'^{2}=\lambda ^{2}z'(z'-2v')$

ou bien en transposant

$\lambda '^{2}v^{2}=\lambda ^{2}\left(z'^{2}-2v'z'+v'^{2}\right)=\lambda ^{2}(z'-v')^{2}\,;$

d’où, en extrayant les racines

${\frac {v}{\lambda }}={\frac {z'-v'}{\lambda '}},\qquad (\alpha '')$

équation qui, comparée à (14), donne

${\frac {z-v}{z}}={\frac {v'}{z'}}\,;\qquad (\beta '')$

en cherchant à éliminer entre ces deux équations l’une des deux quantités $v$ et $v',$ l’autre disparaît aussi, et il vient

${\frac {z}{\lambda }}={\frac {z'}{\lambda '}}.\qquad (\gamma '')$

Cette équation nous apprend que les longueurs $z,z'$ des rayons incident et réfracté sont ici dans un rapport constant. Or, c’est une des propriétés du cercle que les distances de tous les points de sa circonférence à deux points conjugués par rapport à lui sont dans un rapport constant. On a donc ce théorème :

Lorsque la distance d’un point rayonnant au centre du cercle séparateur de deux milieux est au rayon de ce cercle dans le rapport du sinus d’incidence au sinus de réfraction, les rayons émanés de ce point, après s’être réfractés convergent vers le point qui lui est conjugué.

Ce théorème dû à M. de la Rive (Annales, tom. XVI, pag. 76), outre que quelquefois il est physiquement faux, est de plus incomplet en ce qu’il ne donne que la caustique qui répond à