traires, les perpendiculaires qui tomberaient de différens côtés du périmètre de ce triangle.
3. Remarque II. Nous avons tacitement supposé que le côté était le plus petit des trois. Si le contraire arrivait, l’un ou l’autre des deux points et ou même tous les deux se trouveraient sur les prolongerons de et hors du triangle. La droite pourrait donc être tout-à-fait extérieure à ce triangle ; mais elle n’en jouirait pas moins de la propriété annoncée, pourvu que l’on prit toujours les trois distances avec des signes convenables.
4. Remarque III. Si l’un des deux côtés et était égal à c’est-à-dire, si le triangle était isocèle, la droite se confondrait avec le côté restant ; et, si le triangle était équilatéral, toute droite menée par le point résoudrait le problème ; et, comme tout point du plan du triangle peut être supposé appartenir à une telle droite, il en résulte ce théorème connu : La somme algébrique des distances de chacun des points du plan d’un triangle équilatèral à ses trois côtés est une quantité constante. Il est visible d’ailleurs que cette quantité constante n’est autre que la hauteur du triangle ; puisque c’est à elle seule que se réduit la somme des trois distances, lorsque le point que l’on considère est l’un des sommets.
5. PROBLÈME II. Construire, dans l’espace, un plan tel que la somme des distances de chacun de ses points aux quatre faces d’un tétraèdre soit constante ?
Solution. Soit ABCD (fig. 2) le tétraèdre dont il s’agit. Si, sur les trois arêtes on détermine des points tels qu’en menant les droites les quadrilatères soient tous trois équivalens au triangle ; le plan indéfini, déterminé par les trois points résoudra le problème[1].
- ↑ La détermination des trois points est facile. En représentant respectivement par d les aires des faces du tétraèdre opposées aux sommets et posant, pour abréger,
