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les $m^{2}$ points communs aux lignes (4) et (5), et contiendra de plus les points d’intersection des lignes (1) et (2), si son équation est vérifiée par le système $M=.0,\ M'=0$ ; condition à laquelle on peut satisfaire, sans rien spécifier sur $\lambda$ et $\lambda ',$ en posant simplement $1+\mu =0,$ d’où $\mu =-1,$ ce qui réduit l’équation (6) à

$\lambda M-\lambda 'M'=0\,;$

ce qui démontre le théorème I, d’où on déduit son corrélatif, par la théorie des polaires réciproques.

II. Soient présentement

$M=0,\ (1)\quad M'=0,\ (2)\quad M''=0,\ (3)M'''=0,\ (4)$

les équations de quatre surfaces quelconques du m.^ième ordre, les suivantes

${\begin{array}{lr}M'''+\lambda \ M''+\mu \ M'=0,\qquad &(5)\\M'''+\lambda '\ M+\mu 'M''=0,\qquad &(6)\\M'''+\lambda ''M'+\mu ''M=0,\qquad &(7)\end{array}}$

appartiendront, quelles que soient les valeurs des constantes $\lambda ,\lambda ',\lambda '',\mu ,\mu ',\mu '',$ à trois nouvelles surfaces du même ordre assujetties à passer respectivement, savoir :

la surface (5), par les $m^{3}$ intersections des surfaces (2), (3), (4) ;

la surface (6), par les $m^{3}$ intersections des surfaces (3), (4), (1) ;

la surface (7), par les $m^{3}$ intersections des surfaces (4), (1), (2).

L’équation

$M'''+\lambda ''M'+\mu ''M+\nu (M'''+\lambda M''+\mu M')$

$+\nu '(M'''+\lambda 'M+\mu 'M'')=0,$

ou bien

$(\mu ''+\lambda '\nu ')M+(\lambda ''+\mu \nu )M'+(\lambda \nu +\mu '\nu ')a''M+(1+\nu +\nu ')M'''=0\ \$(8)

appartiendra, par la même raison, à une huitième surface du m.^ièmes