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3.^o Les pieds des perpendiculaires abaissées du point $\mathrm {P}$ sur les directions de $\mathrm {A,B,C,D,}$ appartiennent tous quatre à une même droite $\mathrm {R,}$ et cette propriété appartient exclusivement au point $\mathrm {P.}$

4.^o Les points de concours des perpendiculaires abaissées des sommets sur les directions des côtés opposés, dans les quatre triangles (1.^o) appartiennent à une même droite $\mathrm {R'.}$

5.^o Les droites $\mathrm {R}$ et $\mathrm {R'}$ sont parallèles, et la droite $\mathrm {R}$ passe par le milieu de la perpendiculaire abaissée du point $\mathrm {P}$ sur $\mathrm {R'.}$

6.^o Les milieux des diagonales du quadrilatère complet formé par les quatre droites $\mathrm {A,B,C,D,}$ appartiennent tous trois à une même droite $\mathrm {R''}$ (Newton).

7.^o La droite R est perpendiculaire commune aux deux droites $\mathrm {R,R'.}$

8.^o Peur chacun des quatre triangles (1.^o) il y a un cercle inscrit et trois cercles exinscrits, ce qui fait en tout seize cercles ; dont les centres sont quatre à quatre sur une circonférence, de manière à donner naissance à huit nouveaux cercles.

9.^o Ces huit nouveaux cercles se partagent en deux groupes tels que chacun des quatre cercles de l’un de ces groupes, coupe orthogonalement tous les cercles de l’autre groupe ; on en conclut que les centres des cercles des deux groupes sont sur deux droites perpendiculaires l’une à l’autre.

10.^o Enfin ces deux dernières droites se coupent au point $\mathrm {P,}$ mentionné ci-dessus.

Autres théorèmes de géométrie.

(Par le même).

I. Si l’on décrit trois cercles $\mathrm {A,B,C,}$ de manière que chacun d’eux touche un des côtés d’un triangle et les prolongemens des deux autres, et si l’on décrit ensuite trois autres cercles $\mathrm {A',B'} ,$