Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/339

${\begin{array}{llll}\left\{{\begin{aligned}&B=0,\\&C=0,\\&D=0\,;\end{aligned}}\right.&\left\{{\begin{aligned}&C=0,\\&A=0,\\&D=0\,;\end{aligned}}\right.&\left\{{\begin{aligned}&A=0,\\&B=0,\\&D=0\,;\end{aligned}}\right.&\left\{{\begin{aligned}&A=0,\\&B=0,\\&C=0\,;\end{aligned}}\right.&\end{array}}$

Quant aux trois couples d’angles dièdres respectivement opposés elles seront données par les équations

$\left.{\begin{array}{lll}BC=0,&CA=0,&AB=0,\\AD=0,&BD=0,&CD=0\,;\end{array}}\right\}\quad$(5)

et les arêtes qui leur appartiennent le seront par celles-ci :

$\left.{\begin{array}{lll}\left\{{\begin{aligned}&B=0,\\&C=0,\end{aligned}}\right.&\left\{{\begin{aligned}&C=0,\\&A=0,\end{aligned}}\right.&\left\{{\begin{aligned}&A=0,\\&B=0,\end{aligned}}\right.&\\\left\{{\begin{aligned}&A=0,\\&D=0,\end{aligned}}\right.&\left\{{\begin{aligned}&B=0,\\&D=0,\end{aligned}}\right.&\left\{{\begin{aligned}&C=0,\\&D=0,\end{aligned}}\right.\end{array}}\right\}\quad$(6)

Si $a,b,c,\alpha ,\beta ,\gamma$ sont six constantes arbitraires qu’on peut d’ailleurs supposer liées, en tout ou en partie, par une relation quelconque, non homogène, l’équation du second degré

$aBC+bCA+cAB+\alpha AD+\beta BD+\gamma CD=0,\qquad$(7)

sera visiblement l’équation commune à toutes les surfaces du second ordre circonscrites au tétraèdre (1) ; car son premier membre est la seule fonction du second degré en $x,y,z$ qui puisse s’évanouir en y supposant nulles, trois quelconques des quantités $A,B,C,D.$

Si, avec cette équation, on combine tour à tour les suivantes :