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Si l’on cherche les conditions nécessaires pour que les trois premières droites (11) soient deux à deux dans un même plan, on retombera de nouveau sur les équations (12) ; d’où l’on est fondé à conclure que, toutes les fois que deux quelconques des quatre droites (11) sont dans un même plan, les deux droites restantes sont aussi dans un même plan qui, en général, peut être différent du premier.

Mais on voit en même temps que, si l’on avait la double équation

$\alpha a=\beta b=\gamma c,\qquad$(13)

les quatre droites (11) seraient toutes alors comprises dans un seul et même plan.

En représentant chacun de ces trois produits par $k^{2}$, on aura

$\alpha ={\frac {k^{2}}{a}},\quad \beta ={\frac {k^{2}}{b}},\quad \gamma ={\frac {k^{2}}{c}}.$

Substituant ces valeurs dans l’équation (7), elle deviendra

$ABC\left({\frac {a}{A}}+{\frac {b}{B}}+{\frac {c}{C}}\right)+k^{2}D\left({\frac {A}{a}}+{\frac {B}{b}}+{\frac {C}{c}}\right)=0\,;$ (14)

telle est donc la forme particulière que doit prendre l’équation commune aux surfaces cîu second ordre circonscrites au tétraèdre (1), pour qu’en leur circonscrivant un autre tétraèdre, de telle sorte que les sommets de l’inscrit soient les points de contact du circonscrit, les intersections des faces respectivement opposées dans les deux tétraèdres soient toutes quatre comprises dans un même plan. Quant à l’équation de ce plan, on trouvera facilement qu’elle est

$bcA+caB+abC+k^{2}D=0.\qquad$(15)

Trois quelconques des quatre droites (11) déterminant une surface gauche du second ordre, cherchons quelle condition serait nécessaire pour que cette surface gauche contint également la quatrième.

En cherchant l’équation de la surface du second ordre engen-