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${\frac {h^{2}}{R^{2}}}-{\frac {m}{M}}=0,\quad$pour$\quad h=0\quad$ou pour$\quad h={\frac {3\delta }{\Delta }}.R.$

Ainsi la quantité ${\frac {h^{2}}{R^{2}}}-{\frac {m}{M}}$ a une valeur maximum comprise entre les deux valeurs précédentes de $h$, donnée par l’équation

${\frac {2h}{R^{2}}}-{\frac {3\delta }{\Delta .R}}-{\frac {3h}{\Delta .R}}.\left({\frac {\operatorname {d} \delta }{\operatorname {d} h}}\right)=0.$

En mettant dans les équations (3) et (4) la valeur de ${\frac {h^{2}}{R^{2}}}-{\frac {m}{M}},$ donnée par l’équation (5), elles deviendront

(6)$\qquad \qquad g=g'\left(1+{\frac {2h}{R}}+{\frac {h^{2}}{R^{2}}}-{\frac {3\delta }{\Delta }}.{\frac {h}{R}}\right),$

(7)$\qquad \qquad l=l'\left(1+{\frac {2h}{R}}+{\frac {h^{2}}{R^{2}}}-{\frac {3\delta }{\Delta }}.{\frac {h}{R}}\right).$

Ces équations donnent la réduction de la gravité et de la longueur du pendule au niveau de la mer, lorsqu’on a égard à l’attraction de la couche sphérique d’air comprise entre le niveau de la mer et le lieu de l’observation.

Les exemples précédens, bien que subordonnés à l’hypothèse de la terre sphérique et à la valeur adoptée de la densité $\Delta ,$ suffisent pour donner une idée de l’influence exercée sur la longueur du pendule, réduite un niveau de la mer, par l’attraction de la masse $m$ de la couche d’atmosphère terrestre entre deux sphères concentriques, dont l’une a pour rayon la distance du centre de la terre à la surface des mers, tandis que le rayon de l’autre est cette même distance augmentée de la hauteur de la station au-dessus du niveau de la mer.

5. Il suit encore de ces considérations que, dans un même lieu situé à la hauteur $h$ au-dessus du niveau de la mer, la partie $m$ de la masse $M+m$ qui fait osciller le pendule, est variable sui-