assez pénible, de sorte qu’on ne parvient pas, sans quelque peine, à la faire bien comprendre aux conunençans. En outre, la manière dont on en brusque la conclusion, dans les traites d’analyse, semblerait la rendre inexacte ou du moins incomplète. À la vérité les professeurs habiles savent fort bien suppléer en cet endroit au laconisme des auteurs ; mais, malheureusement les professeurs ne sont pas tous habiles, et d’ailleurs les personnes qui s’instruisent dans les livres, sans le secours d’aucun maître, ne sauraient guère suppléer d’elles-mêmes aux omissions qu’elles y rencontrent.
Dans la dernière livraison du Journal allemand de M. Crelle (tom. III, pag. 1.re), M. Gauss a donné une démonstration nouvelle du théorème de Descartes, qui n’est sujette à aucun de ces inconvéniens ; c’est, pour le fond, cette démonstration que nous nous proposons de reproduire ici, en n’y faisant que quelques changemens légers qui nous-ont paru propres à rendre l’exposition plus claire et plus briève encore. Nous croyons faire en cela une chose d’autant plus agréable à MM. les Professeurs de nos écoles, que la démonstration de la règle de Descartes fait actuellement partie du programme des connaissances exigées des aspirans à l’École polytechnique.
Soit une équation en d’un degré quelconque dont toutes les racines soient supposées connues. Soit fait le produit des facteurs binômes qui répondent tant aux racines imaginaires de cette équation qu’à ses racines négatives, et soit représenté ce produit par X. Soient en outre les racines positives de cette équation ; l’équation sera conséquemment
Soit ordonné le produit suivant les puissances descendantes de Soit alors son premier terme que nous pouvons toujours supposer positif. Soit son premier terme négatif ; soit
