Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/366

moins autant de variations que la proposée aura de racines négatives. D’un autre côté, il est visible qu’à chaque variation de la transformée, répondra une permanence dans la proposée, et vice versâ ; de telle sorte que le nombre des permanences de la proposée sera précisément égal au nombre des variations de la transformée, d’où il suit que la proposée devra offrir au moins autant de permanences de signes qu’elle aura de racines négatives.

En rapprochant cette proposition de celle qui a été démontrée en premier lieu, on aura donc ce théorème :

THÉORÈME. Une équation ne saurait avoir plus de racines positives qu’elle n’offre de variations, ni plus de racines négatives quelle n’offre de permanences de signes.

Supposons présentement que les racines de la proposée soient toutes réelles, et soient $r$ le nombre de ses racines positives et $r'$. le nombre de ses racines négatives ; soient de plus $s$ le nombre de ses variations et $s'$ le nombre de ses permanences de signes ; on aura

$r+r'=s+s'\,;\qquad$(4)

et, d’après ce qui vient d’être démontré, on ne pourra admettre ni $r>s$ ni $r'>s'\,;$ les seules hypothèses admissibles seront donc

${\begin{aligned}r=s,&\qquad r'=s',\\r<s,&\qquad r'<s',\\\end{aligned}}$

or, il n’y a que les deux de la première ligne dont la combinaison puisse vérifier l’équation (4) ; d’où il suit qu’elles seront seules conformes à la vérité. On a donc cet autre théorème :

THÉORÈME. Lorsque les racines d’une équation sont toutes réelles, le nombre de ses racines positives est précisément égal au nombre de ses variations, et le nombre de ses racines négatives égal au nombre de ses permanences de signes.

Supposons présentement que l’équation ne soit pas complète ; des termes consécutifs pourront manquer en plusieurs endroits, et ces