d’un même angle d’un quadrilatère simple ; soient les équations des côtés respectivement opposés. Convenons, pour abréger, de représenter simplement par les côtés consécutifs, et par les sommets consécutifs.
En représentant par et deux constantes indéterminées, dont une peut même être choisie d’une manière tout à fait arbitraire, l’équation du second degré
sera visiblement l’équation commune à toutes les lignes du second ordre circonscrites au quadrilatère dont il s’agit ; car elle sera satisfaite, quels que soient et , par les quatre systèmes d’équations du premier degré qui donnent les sommets, et il est de plus évident que cette équation (1) est la seule équation du second degré qui puisse satisfaire à cette condition.
2. Supposons, pour un moment, que le quadrilatère soit inscriptible au cercle ; l’équation du cercle circonscrit ne pourra être que de la forme
Supposons, en outre, que l’on ait choisi pour les axes des coordonnées, sur lesquels nous n’avons point encore statué, les deux droites rectangulaires qui divisent en deux parties égales les quatie angles formés par les deux côtés opposés et il est manifeste que, dans cette hypothèse, le produit ne renfermera pas de terme en ; mais l’équation (2) d’un cercle, rapporté à des axes recUcgulaires, ne doit point renfermer de terme de celle sorte ; donc, il ne se trouvera pas non plus dans le produit ; donc, l’équation (1) de la conique, rapportée aux mêmes axes, ne renfermera pas non plus le terme en donc enfin les axes des coordonnées seront respectivement parallèles à ses diamètres principaux. On a donc ce théorème :
