![{\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05a85f9c52e28c53b5722a784a91a4e0154a3b0)
(c)
![{\displaystyle (x-a')^{2}+y^{2}=r'^{2},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a74e9a5dc39ec5820a9e2e2d0e5e46c9fca4f8d0)
(c’)
les équations de deux cercles ; en prenant leur axe radical pour axe des
, nous aurons
![{\displaystyle a^{2}-r^{2}=a'^{2}+r'^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b508dca11357fe841b50af3e2de1419242b1885d)
Soit ensuite
![{\displaystyle (x-A)^{2}+(y-B)^{2}=R^{2},\qquad (C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29fb677c13e728e3f64116875c8d414523bb75f)
l’équation d’un troisième cercle que, pour fixer les idées, nous supposons toucher extérieurement les deux premiers ; il en résultera
![{\displaystyle {\begin{aligned}(A-a\,)^{2}+B^{2}\,)^{2}&=(R+r)^{2},\\\\(A-a')^{2}+B'^{2}&=(R+r')^{2}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34391f3046bb1347419705f76d6b51694e6151a3)
d’où, en retranchant et ayant égard à la relation ci-dessus,
![{\displaystyle (a-a')A=-(r-r')R.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61b7108b62c54d8372de4cb8635ebb28bb7022c)
Si, au contraire, le cercle
enveloppait les deux autres ou en était enveloppé, le signe du second membre serait positif ; de sorte que, pour comprendre les deux cas dans un seul, il faudra écrire
![{\displaystyle (a-a')A=\pm (r-r')R\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9dafb214a33f3964afb7bb73b4412e50128ba7c)
dans tous les cas,
sera une quantité constante.
Si donc on considère deux cercles touchans
on aura
![{\displaystyle {\frac {A}{R}}={\frac {A'}{R'}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5cd71d0b3702226bb9653688ec1d533e66cb65)
ou
![{\displaystyle \quad RA'-R'A=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/941d6b555ad1e31062d41d6ef357c5265773fba7)
d’où résultera encore