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en substituant cette valeur dans l’équation (t) et divisant par $\lambda ^{4},$ elle deviendra

$\left\{\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)-r^{2}\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)\right\}^{2}$

$=4r^{4}\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\left\{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right\}\,;$

ou bien

$\left\{\left[\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-r^{4}\right]-2r^{2}\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)\right\}^{2}$

$=4r^{4}\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\left\{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right\}\,;$

ou encore, en développant le premier membre, comme le quarré d’un binôme et transposant

$\left\{\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-r^{4}\right\}^{2}$

$=4r^{2}\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)\left[\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-r^{4}\right]-4r^{2}\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)$

$+4r^{4}\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\left\{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right\}\,;$

ou bien, en développant le second membre et en ordonnant par rapport à $r$

$\left\{\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-r^{4}\right\}^{2}$

$=4r^{2}\left\{\left(x'^{2}+y'^{2}\right)^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-2r^{2}\left(x'^{2}+y'^{2}\right)(xx'+yy')+r^{4}\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\right\}$

$=4r^{2}\left\{\left[\left(x'^{2}+y'^{2}\right)x-r^{2}x'\right]^{2}+\left[\left(x'^{2}+y'^{2}\right)y-r^{2}y'\right]^{2}\right\}\,;$

d’où, en divisant par $\left(x'^{2}+y'^{2}\right)^{2},$

$\left\{\left(x^{2}+y^{2}\right)-{\frac {r^{4}}{x'^{2}+y'^{2}}}\right\}^{2}$

$=4r^{2}\left\{\left[x-{\frac {r^{2}x'}{x'^{2}+y'^{2}}}\right]^{2}+\left[y-{\frac {r^{2}y'}{x'^{2}+y'^{2}}}\right]^{2}\right\}$