(7)
L’équation (6) établit un relation entre l’arc de la courbe cherchée, ses coordonnées courantes et leurs différentielles ; en la développant, elle prend la forme
(8)
En intégrant l’équation (7) et remarquant que
on trouve
ou, parce qu’en vertu de l’équation (4) la quantité soumise au signe d’intégration est nulle,
(9)
Si l’on désigne par l’angle que fait la direction du fil avec celle de la normale au point de la sphère où il se termine, on aura, en vertu d’une formule connue, et parce que