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$mA_{0}x^{m-1}+(m-1)A_{1}x^{m-2}+A_{2}x^{m-3}+\ldots +2A_{m-2}x+A_{m-1}=X'=0\,;$ (3)

d’où il suit que, si la proposée a $k$ racines réelles, l’équation (3) en aura $k-1,$ au moins.

Donc, si la proposée a ses $m$ racines réelles, l’équation (3) devra avoir $m-1$ racines réelles, au moins ; et puisqu’elle est du (m-1)^ième degré seulement, elle n’aura point de racines imaginaires. Donc, à l’inverse, si cette équation (3) a des racines imaginaires, la proposée devra en avoir également. Il est aisé de voir d’ailleurs que la présence des racines égales dans la proposée n’altèrerait en rien la vérité de cette proposition. Il arriverait seulement que toutes ces racines, excepté une de chaque sorte, se reproduiraient dans l’équation (3).

Or, comme on peut raisonner sur chaque dérivée, par rapport à celle qui la précède immédiatement, comme nous venons de le faire de l’équation (3) par rapport à la proposée, on peut établir en principe que, lorsqu’une équation a toutes ses racines réelles, toutes ses dérivées, jusquà la dernière, ont aussi toutes leurs racines réelles ; d’où il suit que, si une seule des dérivées d’une équation a des racines imaginaires, toutes ses dérivées supérieures, et par suite la proposée elle-même, auront aussi des racines imaginaires. Cette remarque, dit-on, a déjà été faite par M. Gauchy, dans un mémoire dont nous n’avons pas eu connaissance.

Cela posé, la (m-2)^ième dérivée de l’équation proposée est, en multipliant par deux et réduisant,

$m(m-1)A_{0}x^{2}+2(m-1)A_{1}x+2A_{2}=0,$

laquelle aura ses racines imaginaires si l’on a

$(m-1)^{2}A_{1}^{2}-2m(m-1)A_{0}A_{2}<0$

ou, plus simplement,