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$\left.{\begin{aligned}\operatorname {Cos} .x&=\lambda a,\\\operatorname {Cos} .y&=\lambda b,\\\operatorname {Cos} .z&=\lambda c\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(3)

l’équation (1) donne d’ailleurs facilement

$r^{2}\left(\operatorname {Cos} .^{4}x+\operatorname {Cos} .^{4}y+\operatorname {Cos} .^{4}z\right)-2r^{2}\left(\operatorname {Cos} .^{2}x\operatorname {Cos} .^{2}y+\operatorname {Cos} .^{2}x\operatorname {Cos} .^{2}z\right.$

$\left.+\operatorname {Cos} .^{2}y\operatorname {Cos} .^{2}z\right)+4\operatorname {Cos} .^{2}x\operatorname {Cos} .^{2}y\operatorname {Cos} .^{2}z=0\,;$

d’où, en vertu des valeurs (3) et en divisant par $\lambda ^{4}$,

$\lambda =r.{\frac {\sqrt {2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{2abc}},$

ou encore

$\lambda ={\frac {r{\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}}{2abc}}\,;$

ce qui montre d’abord que le problème n’est possible qu’autant qu’aucune des trois droites données $a,b,c$ n’est plus grande que la somme des autres ; c’est-à-dire, qu’autant qu’on peut former un triangle avec ces trois droites. Si l’on désigne par $T$ l’aire de ce triangle et par $R$ le rayon du cercle circonscrit, on aura, comme l’on sait,

$4T={\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}},\qquad 4TR=abc\,;$

donc

$\lambda ={\frac {r}{2R}}\,;$

donc (3)