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$r^{m-1}\operatorname {f} _{m-1}(t,u,v)+2r^{m-2}\operatorname {f} _{m-2}(t,u,v)+\ldots$

$+(m-2)r^{2}\operatorname {f} _{2}(t,u,v)+(m-1)r\operatorname {f} _{1}(t,u,v)+m=0\,;\quad$(6)

de sorte que c’est là l’équation polaire d’une surface qui, comme celle qui est donnée par l’équation (5), coupe la proposée suivant ses lignes de contact avec la surface conique circonscrite à cette dernière dont le sommet est à l’origine.

Si présentement on veut repasser aux coordonnées rectangulaires, il faudra faire (2)

$t={\frac {x}{r}},\quad u={\frac {y}{r}},\quad v={\frac {z}{r}},$

ce qui donnera, en substituant dans l’équation (6),

$\operatorname {f} _{m-1}(x,y,z)+2\operatorname {f} _{m-2}(x,y,z)+\ldots$

$+(m-2)\operatorname {f} _{2}(x,y,z)+(m-1)\operatorname {f} _{1}(x,y,z)+m=0\,;\quad$(7)

équation du (m-1)^ième degré seulement, appartenant à une surface qui coupe la surface du m^ième ordre donnée par l’équation (1), suivant ses lignes de contact avec la surface conique circonscrite à celle-ci dont le sommet est à l’origine des coordonnées.

En se rappelant donc qu’ici l’origine est un quelconque des points de l’espace, on en conclura le théorème suivant :

THÉORÈME II. Les lignes de contact d’une surface du m^ième ordre avec toute surface conique circonscrite sont toutes situées sur une seule et même surface du (m-1)^ième ordre au plus.

Ce théorème et le précédent sont des tous deux à M. Vallès (Annales, tom. XVI, pag. 315), et nous avons eu uniquement en vue d’en donner une démonstration qui pût être introduite dans l’enseignement élémentaire.

Soient une ligne du m^ième ordre et une droite, données respectivement par les équations