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nombre de ces tangentes est réellement inférieur à cette limite.

Lorsque des points sont donnés sur un plan par le système de deux équations en $x$ et $y$ , ils le sont également par le système de l’une d’elles et d’une combinaison quelconque de l’une et de l’autre. En conséquence, puisque les points de contact des tangentes issues du point $(a,b)$ sont donnés par le système des deux équations (1) et (5), ils le seront aussi par la première de ces deux là, combinée avec l’équation

{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}(x-a)+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}(y-b)=mM\,;\qquad

(6)

laquelle sera ainsi, comme l’équation (5), celle d’une courbe coupant la proposée aux points de contact cherchés. Or, en vertu du théorème connu sur les fonctions homogènes, tous les termes de $m$ dimensions en $x$ et $y$ disparaissent de celle-ci qui ne s’élève conséquemment qu’au (m-1).^ième degré ; en la combinant donc avec l’équation (1) elle ne donnera au plus que $m(m-1),$ systèmes de valeurs pour les coordonnées des points de contact ; d’où il suit que le nombre des tangentes menées à la proposée par le point $(a,b)$ ne pourra s’élever au-dessus de cette limite^[1].

↑ De même que, par suite du théorème des fonctions homogènes, la limite $m^{2}$ fixée par Waring se trouve trop élevée, il se pourrait qu’en vertu de quelque autre théorème, inaperçu jusqu’ici, la limite $m(m-1)$ le fût trop aussi ; car il faut bien remarquer que des deux équations (1) et (6), la première seule est quelconque, tandis que l’autre en est déduite d’une manière tout à fait particulière. Or, s’il était vrai qu’on ne pût pas mener à une courbe du m.^ième degré $m(m-1)$ tangentes d’un même point, il serait faux que la polaire réciproque d’une courbe du m.^ième degré dût s’élever au $\left[m(m+1)\right]$ .^ième degré. MM. les commissaires de l’Académie royale des sciences ont donc été fondés à dire (Bulletin des sciences mathématiques, avril 1828, pag. 227) que cette dernière proposition était encore à démontrer. M. Poncelet nous a lui-même offert des exemples de courbes du troi-

[p114-1] De même que, par suite du théorème des fonctions homogènes, la limite $m^{2}$ fixée par Waring se trouve trop élevée, il se pourrait qu’en vertu de quelque autre théorème, inaperçu jusqu’ici, la limite $m(m-1)$ le fût trop aussi ; car il faut bien remarquer que des deux équations (1) et (6), la première seule est quelconque, tandis que l’autre en est déduite d’une manière tout à fait particulière. Or, s’il était vrai qu’on ne pût pas mener à une courbe du m.^ième degré $m(m-1)$ tangentes d’un même point, il serait faux que la polaire réciproque d’une courbe du m.^ième degré dût s’élever au $\left[m(m+1)\right]$ .^ième degré. MM. les commissaires de l’Académie royale des sciences ont donc été fondés à dire (Bulletin des sciences mathématiques, avril 1828, pag. 227) que cette dernière proposition était encore à démontrer. M. Poncelet nous a lui-même offert des exemples de courbes du troi-

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