substituant ensuite dans (6), en y faisant et nuls, on obtiendra, pour la courbe polaire de l’origine, relativement à la directrice (9),
ou bien
Or, quelle que soit la valeur attribuée à la constante arbitraire cette courbe polaire passe évidemment par les points fixes donnés par les deux équations
on a donc ces deux théorèmes :
THÉORÈME IV. Si tant de courbes du m.ième degré qu’on voudra passant toutes par les mêmes points fixes, les courbes polaires d’un point quelconque, relatives à toutes celles-là, passeront toutes par les mêmes points également fixes. |
THÉORÈME IV. Si tant de courbes de m.ième classe qu’on voudra ont toutes les mêmes tangentes fixes, les courbes polaires d’une droite quelconque, relatives à toutes ces courbes, auront toutes les mêmes tangentes également fixes. |
C’est là, comme l’on voit, la première partie des deux théorèmes de la page 256 du précédent volume, et les deux autres seraient tout aussi faciles à établir.
Si l’équation est homogène en et , elle exprimera le système de droites réelles ou idéales, passant par l’origine ; et conséquemment les courbes comprises dans l’équation (9) auront