la détermination complète d’une surface du m.ième degré est et ces points n’en déterminant qu’une seule. D’un autre côté, trois surfaces de ce degré peuvent se couper en points de l’espace. Si donc on choisit le nombre entier , de telle sorte que soit plus grand que ce qui arrivera toujours pour on aura un exemple de trois surfaces du même degré, assujéties à passer par plus de points qu’il n’en faudrait pour la détermination complète d’une seule d’entre elles.
Voilà donc un paradoxe apparent tout à fait analogue à celui qui nous a déjà occupé, relativement aux lignes courbes, dans un précédent article, et qui s’explique, comme celui-là, en considérant que, lorsqu’on parle du nombre des points de l’espace nécessaires et suffisans pour la détermination complète d’une surface, on sous-entend toujours qu’il s’agit de points pris au hasard dans l’espace, n’étant liés entre eux par aucune relation ; et que tels ne sont point, en général, les points d’intersection de trois surfaces du m.ième degré.
Ce paradoxe donne naissance à des théorèmes analogues à ceux que nous avons déduits, à la pag. 97 du présent volume, du semblable paradoxe relatif aux lignes courbes ; théorèmes non moins féconds que ceux-là en conséquences curieuses, et dont la recherche va présentement nous occuper.
Deux surfaces du m.ième degré se coupent, comme l’on sait, suivant une courbe à double courbure, dont la projection sur un plan quelconque est, en général, une courbe du .ième degré ; et trois pareilles surfaces se coupent, comme nous venons de l’observer, en points au plus.
