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$m^{3}$ points d’intersection des trois premières ; en invoquant donc encore ici le principe de dualité, on aura ces deux théorèmes :

THÉORÈME II. Toutes les surfaces du m.^ième degré assujéties à passer par $\mathrm {{\frac {m+1}{1}}.{\frac {m+2}{2}}.{\frac {m+3}{3}}}$ $-3$ points donnés, passent en outre par les $\mathrm {m^{3}-{\frac {m+1}{1}}.{\frac {m+2}{2}}} .$ $\mathrm {{\frac {m+3}{3}}+3}$ mêmes points fixes.

THÉORÈME II. Toutes les surfaces de m.^ième classe assujéties à toucher $\mathrm {{\frac {m+1}{1}}.{\frac {m+2}{2}}.{\frac {m+3}{3}}}$ $-3$ plans donnés, touchent en outre les $\mathrm {m^{3}-{\frac {m+1}{1}}.{\frac {m+2}{2}}.{\frac {m+3}{3}}}$ $+3$ mêmes plans fixes.

Donc, en particulier,

Corollaire. Toutes les surfaces du second ordre qui passent par sept points donnés, ont en outre un huitième point commun^[1].

Corollaire. Toutes les surfaces du second ordre qui touchent sept plans donnés, ont en outre un huitième plan tangent commun.

↑ Dans le troisième volume du Journal de M. Crelle (pag. 200 et 205), on recontre ces deux théorèmes fort analogues à ceux-là. {| class="left" |- | || THÉORÈME. Toutes les surfaces du second ordre qui passent par sept des huit sommets d’un hexaèdre octogone, passent aussi par le huitième et lui sont conséquemment circonscrites. || || || THÊOBÈME. Toutes les surfaces du second ordre qui touchent sept des huit faces d’un octaèdre hexagone, touchent aussi la huitième et lui sont conséquemment inscrites. |} Un anonyme démontre le premier de ces théorèmes, par un calcul direct qui n’est pas dépourvu d’une certaine élégance ; M. Steiner en déduit l’autre par la théorie des polaires réciproques. Le premier de ces théorèmes, le seul qu’il soit nécessaire de démontrer, nous parait pouvoir être assez simplement établi comme il suit : Soient
$M=0,\qquad M'=0,\qquad M''=0,\qquad$ (1)

trois équations du second degré en $x,y,z$ , dont chacune exprime deux

[p139-1] Dans le troisième volume du Journal de M. Crelle (pag. 200 et 205), on recontre ces deux théorèmes fort analogues à ceux-là. {| class="left" |- | || THÉORÈME. Toutes les surfaces du second ordre qui passent par sept des huit sommets d’un hexaèdre octogone, passent aussi par le huitième et lui sont conséquemment circonscrites. || || || THÊOBÈME. Toutes les surfaces du second ordre qui touchent sept des huit faces d’un octaèdre hexagone, touchent aussi la huitième et lui sont conséquemment inscrites. |} Un anonyme démontre le premier de ces théorèmes, par un calcul direct qui n’est pas dépourvu d’une certaine élégance ; M. Steiner en déduit l’autre par la théorie des polaires réciproques. Le premier de ces théorèmes, le seul qu’il soit nécessaire de démontrer, nous parait pouvoir être assez simplement établi comme il suit : Soient
$M=0,\qquad M'=0,\qquad M''=0,\qquad$ (1)

trois équations du second degré en $x,y,z$ , dont chacune exprime deux

[1]