Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/140

Ici encore, comme nous l’avons déjà remarqué pour les lignes courbes, on pourra admettre que tous ou partie des points fixes donnés se confondent par groupes plus ou moins nombreux en un point unique, auquel cas les surfaces dont il s’agit auront, en ces points, des contacts d’ordres plus ou moins élevés.

On peut également ici, comme alors, remplacer chaque point donné de la surface cherchée, soit par l’un des coefficiens de son équation, soit par une équation linéaire entre tous ou partie de ces coefficiens. Nos deux théorèmes ses changeront ainsi dans les deux théorèmes plus généraux que voici :

THÉORÈME III. Étant donnés $n$ coefficiens de l’équation générale du m.^ième degrés à trois indéterminées, ou encore, étant données $n$ équations linéaires entre tous ou partie de ces coefficiens, toutes les surfaces représentées par l’équation générale ainsi modifiée, et passant par les $\mathrm {{\frac {m+1}{1}}.{\frac {m+2}{2}}} .$$\mathrm {{\frac {m+3}{3}}-(n+2)}$ mê-

plans, ; elles seront satisfaites toutes trois par les coordonnées des sommets de l’hexaèdre octogone qui aura ces couples de plans pour les plans de leurs faces opposées ; or, tout point qui satisfera à ces trois équations satisfera aussi à l’équation du second degré

$\mu M+\mu 'M'+M''=0,\qquad$(2)

dans laquelle $\mu$ et $\mu '$ sont deux constantes indéterminées ; donc, cette dernière est l’équation commune à toutes les surfaces du second ordre circonscrites à l’hexaèdre octogone dont il s’agit ; et, comme d’ailleurs, cet hexaèdre se trouve visiblement déterminé par sept de ses huit sommets, il s’ensuit que, pourvu qu’une surface du second ordre passe par ces sept sommets, elle devra nécessairement passer par le huitième.

Au surplus, ce théorème se trouve aussi compris dans le théorème V de la pag. 346 de notre xvii.^e vol.

J. D. G.