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rèmes de la pag. 267 du précèdent volume, et les quatre autres seraient tout aussi faciles à établir.

Si les deux équations $M''=0,\ M'''=0$ sont homogènes en $x,y,z$, chacune d’elles exprimera $m$ plans passant par l’origine ; de sorte que leur ensemble exprimera $m^{2}$ droites distribuées $m$ à $m$ sur $m$ plans passant par un même point, et dont chacune percera en $m$ points la surface donnée par l’équation $M'=0\,;$ alors donc l’équation (11) exprimera toutes les surfaces de m.^ième degré passant par les $m^{3}$ mêmes points, distribués $m$ à $m$ sur $m^{2}$ droites, situées elles-mêmes $m$ à $m$ dans $m$ plans se coupant en un même point ; or, à cause de l’homogénéité de $M''$ et $M''',$ on a identiquement

${\begin{aligned}&x{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}\ +y{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}\ +z{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}=mM'',\\\\&x{\frac {\operatorname {d} M'''}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M'''}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M'''}{\operatorname {d} z}}=mM'''\,;\end{aligned}}$

au moyen de quoi l’équation (12) de la surface polaire de l’origine, se réduit simplement à

$x{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}=mM'\,;$

de sorte que cette polaire est alors indépendante des constantes arbitraires $\lambda$ et $\mu \,;$ on a donc ces deux théorèmes :

THÉORÈME VIII. Si tant de surfaces du $\mathrm {m}$.ième degré qu’on voudra ont toutes les $\mathrm {m} ^{3}$ mêmes points communs, distribués $\mathrm {m}$ à $\mathrm {m}$ sur $\mathrm {m} ^{2}$ droites, situées elles-mêmes $\mathrm {m}$ à $\mathrm {m}$ dans $\mathrm {m}$ plans, se coupant en un même point ; ce

THÉORÈME VIII. Si tant de surfaces de $\mathrm {m}$.ième classe qu’on voudra ont toutes les $\mathrm {m} ^{3}$ mêmes plans tangens communs, se coupant $\mathrm {m}$ à $\mathrm {m}$ suivant $\mathrm {m} ^{2}$ droites concourant elles-mêmes $\mathrm {m}$ à $\mathrm {m}$ en $\mathrm {m}$ points, situés dans un même