27. Des courbes planes, tracées sur une surface du second ordre, correspondent, au moyen de la doctrine des polaires réciproques, à des cônes circonscrits à une autre surface du même ordre ; d’où il suit que leurs propriétés générales correspondent aux propriétés générales de ces cônes. Ainsi les théorèmes du précédent paragraphe donnent naissance à de nouveaux théorèmes qu’il doit nous suffire d’énoncer. Au surplus, leur démonstration directe ne présenterait aucune difficulté, on la déduirait des principes exposés dans le §. I, comme nous avons déduit celle des théorèmes relatifs aux cônes circonscrits des principes exposés dans le §. II.
Rappelons d’abord le théorème (8) qui peut être énoncé ainsi :
28. Si des courbes planes, tracées sur une surface du second ordre, sont dans des plans passant par une même droite, les cônes qui auront ces courbes pour bases et pour sommet commun un quelconque des points de la surface du second ordre, seront coupés par tout plan transversal suivant des coniques qui, prises deux à deux, auront mêmes axes de symptose.
Ces coniques jouiront, conséquemment, de toutes les propriétés d’une série de coniques circonscrites à un même quadrilatère. Si, par la droite suivant laquelle se coupent les plans des courbes tracées sur la surface du second ordre, on peut conduire deux plans tangens à cette surface ; aux deux points de contact, considérés comme deux courbes infiniment petites, correspondront, sur le plan transversal, deux points qui feront partie de la série de coniques ; ou bien, si chaque plan tangent touche la surface du second ordre suivant deux droites, à ces droites correspondront, sur le plan transversal, deux systèmes de droites faisant partie de la série de coniques.
Par les polaires réciproques, le théorème (23) donne le suivant :
29. Si les plans de plusieurs courbes planes, tracées sur une sur-
